不相容可观察量

更新时间:2022-08-25 15:56

物理学里,特别是在量子力学里,处于某种状态的物理系统,它所具有的一些性质,可以经过一序列的物理运作过程而得知。这些可以得知的性质,称为可观察量(observable)。假若两种可观察量的对易算符不等于0,则称这两种可观察量为“不相容可观察量”。

可观察量

物理学里,特别是在量子力学里,处于某种状态的物理系统,它所具有的一些性质,可以经过一序列的物理运作过程而得知。这些可以得知的性质,称为可观察量(observable)。例如,物理运作可能涉及到施加电磁场于物理系统,然后使用实验仪器测量某物理量的数值。在经典力学的系统里,任何可以用实验测量获得的可观察量,都可以用定义于物理系统状态的实函数来表示。在量子力学里,物理系统的状态称为量子态,其与可观察量的关系更加微妙,必须使用线性代数来解释。根据量子力学的数学表述,量子态可以用存在于希尔伯特空间态矢量来代表,量子态的可观察量可以用厄米算符来代表。

数学表述

本征态

假设,物理量O是某量子系统的可观察量,其对应的量子算符 ,可能有很多不同的本征值 与对应的本征态 ,这些本征态 ,形成了具有正交归一性基底

其中, 是克罗内克函数

任何描述这量子系统的量子态 ,都可以用这基底的本征态表示为

其中, 是复系数,是在量子态 里找到量子态 的概率幅

假设,量子态 等于这些本征态之中的一个本征态 ,则对于这量子系统,测量可观察量O,得到的结果必定等与本征值 ,概率为1,量子态 是“确定态”。

统计诠释

根据统计诠释,对应于可观察量的量子算符可能有很多本征值,测量结果只能是其中一个本征值,而且,每一个本征值出现的机会呈概率性。测量这个动作会将量子系统的量子态改变为对应于本征值的本征态,并且,在之后短暂片刻内,量子系统的量子态仍旧是这本征态。

假设,某量子系统的量子态为

测量这个动作会将量子系统的量子态改变为算符 的一个本征态。假设量子态改变为本征态 ,则改变为这本征态的概率为 ,测量结果是本征值 ,得到这本征值的概率也为 。在测量之后短暂片刻内,量子系统的量子态仍旧是本征态 。

将算符 作用于量子态 ,会形成新量子态 :

从左边乘以量子态 ,经过一番运算,可以得到

所以,每一个本征值与其概率的乘积,所有乘积的代数和就是可观察量O的期望值

厄米算符

每一种经过测量而得到的物理量都是实数,因此,可观察量O的期望值是实数:

对于任意量子态 ,这关系都成立:

根据伴随算符的定义,假设 是 的伴随算符,则 。因此,

这正是厄米算符的定义。所以,表现可观察量的算符,都是厄米算符。

不相容可观察量

假若两种可观察量的对易算符不等于0,则称这两种可观察量为“不相容可观察量”:

其中, 、 分别是可观察量A、B的算符。

这两种算符 与 绝对不会有共同的基底。一般而言, 的本征态与 的本征态不同假设量子系统的量子态为 。对于算符 ,所有本征值为 的本征态 ,形成一个基底。量子态 可以表示为这组基底本征态的线性组合

其中, 是复系数,是在量子态 里找到量子态 的概率幅

对于算符 ,所有本征值为 的本征态 ,形成了另外一个基底。量子态 可以表示为这组基底本征态的线性组合

其中, 是复系数,是在量子态 里找到量子态 的概率幅

对于量子系统的可观察量A做测量,可能得到的结果是各种本征态 的本征值 ,获得这些不同结果的机会具有概率性,可以表达为概率分布,结果为 的概率是 。

假设测量的结果是本征值 ,则可以推断,在测量之后短暂片刻内,量子态是本征态 。假若立刻再测量可观察量A,由于量子态仍旧是本征态 ,所得到的测量值是本征值 概率为1。假若立刻再对本征态 测量可观察量B,则会得到统计性的答案。假设测量的结果是本征值 ,则可以推断,在测量之后短暂片刻内,量子态是本征态 。

根据不确定性原理

设定 。假设,A与B是两个不相容可观察量,则 。而A的不确定性与B的不确定性的乘积 ,必定大于或等于 。

实例

为了具体计算位置与动量的期望值,可以将量子态表现于位置空间,以位置空间的波函数来表示,使用对应的代数算符。

位置与动量

位置x,动量p都是可观察量,它们的算符都是厄米算符:

角动量

在三维空间里,角动量算符的x-分量 是厄米算符。因为

其中,y与z分别是位置的y-分量与z-分量, 与 分别是动量的y-分量与z-分量。

类似地,角动量算符的y-分量 也是厄米算符。

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