更新时间：2023-12-24 15:29
共轭点是一类特殊的点。指数映射的奇点的像。黎曼流形上两个点的共轭关系是对称的，即：若点 p 是 x 点共轭点，则 x 也是 p 的共轭点。
共轭点是一类特殊的点。指数映射的奇点的像。
设 M 是完被黎曼流形， 指数映射 的奇异点 称为 x 的（切）共轭点。奇异值 称为点 x 沿测地线 共轭点。点 x 的共轭点点集合称为点 x 点共轭轨迹（相应地，有点x 的（切）共轭轨迹）。根据定义， ，使得
若 是点 x 的一个（切）共轭点，则
是 的子空间，其维数称为共轭点 的重数，或称为（切）共轭点 v 点阶。
共轭点的判断准则是：是 是点 沿着连接 x 和 p 点测地线γ 的共轭点，当且仅当存当沿γ 定义和非零雅可比场 J，使得 J 在两端 x，p 的值为零。
于是，黎曼流形上两个点的共轭关系是对称的，即：若点 p 是 x 点共轭点，则 x 也是 p 的共轭点。在从 x 引出的测地线γ 上存在点x 的共轭点，破坏了该测地线作为最短线的性质。
确切地说，若在测地线段 的内部含有点 沿γ 的共轭点，则该测地线段不是连结 x 和 的最短测地线。根据共轭点的判断准则，共轭点的存在性与黎曼流形的截面曲率有关。若 M 的截面曲率恒非正，则 M 上任意一点都没有共轭点。若完备黎曼流形 M 的里奇曲率有正的下界，则 M 上任意一点 x 沿着从 x 出发的每一条测地线上都有共轭点。
若完备黎曼流形 M 在点 x 点共轭轨迹是空集，则指数映射 是可微同胚，即 M 可微同胚于欧氏空间 。