设 是一个不为1的正数，如果 ，则称 为以 为底时， 的对数(logarithm;artifical number)，记为 ， 称为真数。从实对数定义可知，零和负数没有实对数。例如当以10为底时，由于100=102，因此100(以10为底)的对数是2；由0.001=10-3可知，0.001的对数为-3。

利用对数，可以把乘、除、乘方、开方分别分为加、减、乘、除。因此，对数能用来简化计算。在16世纪，商业、航海学与天文学得到迅速的发展，为了适应简化复利、天文与球面三角计算的需要，形成了对数的概念。恩格斯高度评价了对数的作用，把它与解析几何、微积分并称为近代“最重要的数学方法”。由于对数能大大简化计算，历史上曾把它当成计算的法宝，但至今，它的地位已被计算机(器)所取代。

以10为底的对数，称为常用对数。在高等数学中，常使用以e为底的对数，即自然对数。常用对数与自然对数可利用换底公式互换。对数不仅可用来简化计算，而且在微积分、微分方程及复变函数论等方面，都是有用的运算工具，在表示自然现象的方程或公式中经常出现。

1742年，琼斯(Jones，W.)在给伽代尔(Gardiner，W.)的《对数表》写的序言中第一次采用了这样的对数定义.对数的创始人是纳皮尔(Napier，J.)，他在解决天文学中的计算问题时提出并使用了对数.1614年，纳皮尔在《论述对数的奇迹》以及在他死后于1619年出版的著作《做出对数的奇迹》中都介绍了他的对数方法。纳皮尔定义的对数称为纳皮尔对数，记为Nap log y，它与自然对数的关系是

比尔吉(Bürgi，J.)也于1600年左右独立地发现了对数，但他的著作却在1620年才发表。对数与对数表于1648年由穆尼阁(Smogolenski，J.-N.)讲授传入中国后，在由薛凤祚整理的《历学会通》的《比例对数表》中将lograithm译为“比例数”，它给出了1—20000的六位对数表，在《比例四线新表》中给出了三角函数的对数表。当时，logaN=b中的N称为真数，而b称为“假数”，后来把b称为N的对数。1723年印出的由梅彀成(有的书写成梅珏成)等编著的《数理精蕴》一书，较详细地叙述了对数的内容和编造对数表的方法。