Ⅰ2．对于两点A，B，存在不多于一条属于这两点A，B中每一点的直线。

我们说两点三点(或对于直线、平面来说)，意思是永远指不同的诸点(或直线、平面)。

在这里希尔伯特为今后的正确理解起见，作出非常重要的注释：

“术语‘属于’我们也有时用其他的说法代替。例如我们不说直线a属于A，B两点中的每一点而说直线a通过两点A，B，或者说直线a连接点A和点B，不说A属于a，而说A在a上，或者说A是a(上)的一点，以及其他说法，如果点A在直线a上，又在直线b上，我们也说直线a和b相交于点A，或者说有公共的点A等等”。

不要以为我们在这里是在解释“属于”这一术语了，这不过是以其他的词句“在......上”，“(通)过”等代替这个不定义的术语而已。但除了这些词句以外——而且这一点才是事情的本质——不要把任何同“属于”等效的直观概念纠缠在一起。

或者也可以完全避免上述的术语，只简单地用文字记录上述的术语。例如，对于任意两点A，B常存在一直线a，A，B之中的每一点和a有着关系 。

这样说或者更好些：对于第一类的任何二对象A，B常有第二类的一对象a，它们有着关系 。

或者，再简略些说：对任意二点A，B，常存在这样的a，使得 。

为了尽量清晰地单纯表示某一数学立论中的逻辑结构，我们往往利用数理逻辑的方法，在这里全部的立论只用符号表示——不用普通的语言，只用逻辑公式的语言。

正像在代数中文字和运算的符号可以有各式各样的具体意义一样，在抽象几何中基本对象及其基本关系也有相同的情形。

在这里要提出的唯一要求是须遵守若干规则或满足若干公理。

Ⅰ3.在一直线上至少存在两点，至少存在不在一直线上的三点。

Ⅰ4.对于不在一直线上的任意三点，存在属于三点A，B，C中每一点的平面 ，对于任一平面常存在属于它的一点。

Ⅰ5.对于不在一直线上的任意三点，存在属于三点A，B，C中每一点的平面不多于一。

Ⅰ6.若直线a上有两点A，B在平面 上，则直线a上任一点都在平面 上。

Ⅰ7.若二平面 有一公共点A，则它们至少还有另外一公共点B。

Ⅰ8.至少存在不在一平面上的四点。

这是第一组公理最后的一个公理。公理Ⅰ1～Ⅰ3叫做第一组的平面公理；Ⅰ4～Ⅰ8叫做第一组的空间公理。

为了部分地解释希尔伯特的观点并且了解基本对象问题提法的实质起见，我们来看一个例题。因为“点”、“直线”和“平面“可以表示有任何本性的对象，只要它们适合公理，那么我们假定四“点”A，C，B，D是通常的欧氏平面上的点，并且假定其中任意三点都不在一直线上，此外，还假定“不在一直线上”以及对象“直线”的字义正是我们在中学校中所习惯的。

联结A，B，C，D各点成六条直线(图1)，这些直线也遵从通常的含义，命这些直线为。

我们作一个模型，首先，第一类的綦本对象—— “点”——只容许有四个点A，B，C，D，任何其他的东西不算作“点”，六条直线认为是第二类的基本对象(第二类的东西)——“直线”。任何其他的东西不算作“直线”，我们限于用第一组的Ⅰ1～Ⅰ3三个公理，因此第三类的慕本对象——“平面”不再计入。这样，有了四个第一类的对象——四个”点”——和六个第二类的对象——六条“直线”。

其次，因为在希尔伯特的公理法中基本关系“在……上”可以随意指什么，只要满足公理就可以，那么我们给这个词以这样的意义：令“点”A，B对应于“直线”a，而写作：，同理有：，今约定在建立好的对应中每两“点””(决)定”一直线。于是，在我们的约定之下公理Ⅰ1是正确的：”二不同点常定一直线”。例如，点B，D定一直线e，倘若不说B，D“定”一“直线”e，而按照希尔伯特的说法，要说点B和D“在”“直线”e“上”。反过来，如果说二不同点B，C”在”“直线”“b”“上”，意思是说，“直线”b由“点”B和C所定。总之这都需要基本关系“在……上”，这种关系的直觉概念也可以和我们一般用的不一致，我们也可以说“直线”b“(通)过”“点”B和C。“通过”一语必须使具有和第一个公理的内容有等效的含义，等等。

容易看出，在我们的模型中公理Ⅰ2成立，一直线一般只“含有”两“点”，是的，直线a“含有”A，B两“点”，按照希尔伯特的说法，假如A是一点，它和另一点定直线a，说是：A“在”a“上”，A“是”a“的上点”。是的，在我们的模型中A“是”“直线”“a上“的点”，因为A和B共同“定”a。完全一样地，A“是”“直线”d上“的点”。希尔伯特还说：“如果A‘在’直线a'上’，又在另一直线b上，我们就说‘直线’a和b'有公共点'A”。是的，在我们的模型中“直线”a和d“有公共点”A，也可以这样说：“直线”a和d“交于”点A。

在我们的模型中公理Ⅰ3也是实现的：“在一直线上至少存在两点；在每一平面上至少存在三个不在一直线上的点”。是的，在我们的模型的对象中“在每一直线上至少存在两点”。例如，在直线上存在点A和C，在我们的模型中所有的“点”和“直线”可以认为属于一“平面”。因此公理Ⅰ3的第二部分是实现的：点A，B，C不“在”一直线“上”。

我们就以这个模型对于第一组所有的平面公理都成立作结束，现在我们转而谈谈从代数中类似的情形来弄清问题的要点。如果在代数中写下公式a+b=b+a，则文字可以代替任何数值，这公式依然成立。同样，在希尔伯特的公理法中基本概念“点”、“直线”、“平面”可以换成有任何本性的对象，只要这些公理仍旧成立即可。如果在上面的等式a+b=b+a中把关系“+”、“=”理解为向量代数里的符号，而a和b是向量，这公式还是成立的。完全相仿地，在希尔伯特的公理法里，不仅基本对象，还有对象间的基本关系都可以理解为有任何本性的对象和任何对象的关系，只需满足公理就成了。例如，在上面所讲的模型中有四个普通的点和六条直线，但关系“在……上”完全跟普通的意义不同。

再讨论另外一个基本对象及对象间的基本关系也不是普通的性质的模型(图2)。作四条直线，两两相交，记出它们普通的六个交点，四条直线标作A，B，C，D；六个点标作a，b，c，d，e，f。现在约定把命名为A，B，C，D的看做是第一类的基本对象并称之为“点”；把a，b，c，d，e，f看做是第二类的基本对象并称之为“直线”，把全部图形看做是第三类的对象并称之为“平面”。现在规定对于每对“点”(在刚才引进的字义下)对应一“直线”(还是在新的字义下)，即(二直线A，B对应于点f仍是通常的词的用法，但词的意义不是通常的)

建立了这种对应之后，我们便认为在第一组的平面公理中术语“定”与术语“对应”只能在上述的意义下等效。这样一来，“点”A和B定“直线”f；A，D定“直线”e。按照希尔伯特的说法，应该说：“点”A，B“在直线”f“上”；“直线”f‘‘通过点”A，B；A和B“是直线”f“的点”，等等。

因为在所做的模型中“直线”a和c同时“含有”“点”C，也就是“点”C“在直线”a和c“上”，所以可以说“直线”a和c“交于”一“点”C，在这个模型中所有第一组的平面公理都满足。

注意，所讨论的模型只服从公理Ⅰ1～Ⅰ3，其余的公理Ⅰ4～Ⅰ8对这个模型不生效；其余组的公理也不成立，可以当作是一些例外。